29 Numerics library [numerics]

29.9 Mathematical functions for floating-point types [c.math]

29.9.5 Mathematical special functions [sf.cmath]

Если какое-либо значение аргумента для любой из функций, указанных в этом подпункте, является NaN (не числом), функция должна возвращать NaN, но не должна сообщать об ошибке домена. В противном случае функция должна сообщать об ошибке домена только для тех значений аргументов, для которых:

(1.1)
предложение описания функции Returns: явно указывает домен, и значения этих аргументов выходят за пределы указанного домена, или
(1.2)
соответствующее значение математической функции имеет ненулевую мнимую составляющую, или
(1.3)
соответствующая математическая функция математически не определена.286

Если не указано иное, каждая функция определена для всех конечных значений, для отрицательной бесконечности и для положительной бесконечности.

286)

Математическая функция определяется математически для данного набора значений аргумента (a), если она явно определена для этого набора значений аргумента, или (b), если ее предельное значение существует и не зависит от направления подхода.

29.9.5.1 Associated Laguerre polynomials [sf.cmath.assoc_laguerre]

double assoc_laguerre(unsigned n, unsigned m, double x); float assoc_laguerref(unsigned n, unsigned m, float x); long double assoc_laguerrel(unsigned n, unsigned m, long double x);

Effects: Эти функции вычисления , связанные Лагерра многочлены своих аргументов n, mи x.

Returns:

$L_{n}^{m} (x) = (- 1)^{m} \frac{d^{m}}{d x^{m}} L_{n + m} (x), for x \geq 0$

где n есть n, m есть mи x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if n >= 128 или if m >= 128.

29.9.5.2 Associated Legendre functions [sf.cmath.assoc_legendre]

double assoc_legendre(unsigned l, unsigned m, double x); float assoc_legendref(unsigned l, unsigned m, float x); long double assoc_legendrel(unsigned l, unsigned m, long double x);

Effects: Эти функции вычисляются соответствующие функции Лежандра своих аргументов l, mи x.

Returns:

$P_{ℓ}^{m} (x) = (1 - x^{2})^{m / 2} \frac{d^{m}}{d x^{m}} P_{ℓ} (x), for | x | \leq 1$

где l есть l, m есть mи x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if l >= 128.

29.9.5.3 Beta function [sf.cmath.beta]

double beta(double x, double y); float betaf(float x, float y); long double betal(long double x, long double y);

Effects: Эти функции вычисляют бета-функцию своих соответствующих аргументов x и y.

Returns:

$B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}, for x > 0, y > 0$

где x есть x и y есть y.

29.9.5.4 Complete elliptic integral of the first kind [sf.cmath.comp_ellint_1]

double comp_ellint_1(double k); float comp_ellint_1f(float k); long double comp_ellint_1l(long double k);

Effects: Эти функции вычисляют полный эллиптический интеграл первого рода своих соответствующих аргументов k.

Returns:

$K (k) = F (k, π / 2), for | k | \leq 1$

где k есть k.

См. Также [sf.cmath.ellint_1].

29.9.5.5 Complete elliptic integral of the second kind [sf.cmath.comp_ellint_2]

double comp_ellint_2(double k); float comp_ellint_2f(float k); long double comp_ellint_2l(long double k);

Effects: Эти функции вычисляют полный эллиптический интеграл второго рода своих соответствующих аргументов k.

Returns:

$E (k) = E (k, π / 2), for | k | \leq 1$

где k есть k.

См. Также [sf.cmath.ellint_2].

29.9.5.6 Complete elliptic integral of the third kind [sf.cmath.comp_ellint_3]

double comp_ellint_3(double k, double nu); float comp_ellint_3f(float k, float nu); long double comp_ellint_3l(long double k, long double nu);

Effects: Эти функции вычисляют полный эллиптический интеграл третьего рода от своих соответствующих аргументов k и nu.

Returns:

$Π (ν, k) = Π (ν, k, π / 2), for | k | \leq 1$

где k есть k и ν есть nu.

См. Также [sf.cmath.ellint_3].

29.9.5.7 Regular modified cylindrical Bessel functions [sf.cmath.cyl_bessel_i]

double cyl_bessel_i(double nu, double x); float cyl_bessel_if(float nu, float x); long double cyl_bessel_il(long double nu, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют обычные модифицированные цилиндрические функции Бесселя своих соответствующих аргументов nu и x.

Returns:

$I_{ν} (x) = i^{- ν} J_{ν} (i x) = \infty \sum k = 0 \frac{(x / 2)^{ν + 2 k}}{k! Γ (ν + k + 1)}, for x \geq 0$

где ν есть nu и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if nu >= 128.

См. Также [sf.cmath.cyl_bessel_j].

29.9.5.8 Cylindrical Bessel functions of the first kind [sf.cmath.cyl_bessel_j]

double cyl_bessel_j(double nu, double x); float cyl_bessel_jf(float nu, float x); long double cyl_bessel_jl(long double nu, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют цилиндрические функции Бесселя первого рода с соответствующими аргументами nu и x.

Returns:

$J_{ν} (x) = \infty \sum k = 0 \frac{(- 1)^{k} (x / 2)^{ν + 2 k}}{k! Γ (ν + k + 1)}, for x \geq 0$

где ν есть nu и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if nu >= 128.

29.9.5.9 Irregular modified cylindrical Bessel functions [sf.cmath.cyl_bessel_k]

double cyl_bessel_k(double nu, double x); float cyl_bessel_kf(float nu, float x); long double cyl_bessel_kl(long double nu, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют нерегулярные модифицированные цилиндрические функции Бесселя своих соответствующих аргументов nu и x.

Returns:

$K_{ν} (x) = (π / 2) i^{ν + 1} (J_{ν} (i x) + i N_{ν} (i x)) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{π}{2} \frac{I_{- ν} (x) - I_{ν} (x)}{sin ν π}, & for x \geq 0 and non-integral ν \frac{π}{2} lim μ \to ν \frac{I_{- μ} (x) - I_{μ} (x)}{sin μ π}, & for x \geq 0 and integral ν \end{matrix}$

где ν есть nu и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if nu >= 128.

Смотрите также [sf.cmath.cyl_bessel_i], [sf.cmath.cyl_bessel_j], [sf.cmath.cyl_neumann].

29.9.5.10 Cylindrical Neumann functions [sf.cmath.cyl_neumann]

double cyl_neumann(double nu, double x); float cyl_neumannf(float nu, float x); long double cyl_neumannl(long double nu, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют цилиндрические функции Неймана, также известные как цилиндрические функции Бесселя второго рода, их соответствующих аргументов nu и x.

Returns:

$N_{ν} (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \frac{J_{ν} (x) cos ν π - J_{- ν} (x)}{sin ν π}, & for x \geq 0 and non-integral ν lim μ \to ν \frac{J_{μ} (x) cos μ π - J_{- μ} (x)}{sin μ π}, & for x \geq 0 and integral ν \end{matrix}$

где ν есть nu и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if nu >= 128.

См. Также [sf.cmath.cyl_bessel_j].

29.9.5.11 Incomplete elliptic integral of the first kind [sf.cmath.ellint_1]

double ellint_1(double k, double phi); float ellint_1f(float k, float phi); long double ellint_1l(long double k, long double phi);

Effects: Эти функции вычисляют неполный эллиптический интеграл первого типа своих соответствующих аргументов k и phi (phi измеряется в радианах).

Returns:

$F (k, ϕ) = \int_{0}^{ϕ} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} {sin}^{2} θ}}, for | k | \leq 1$

где k есть k и φ есть phi.

29.9.5.12 Incomplete elliptic integral of the second kind [sf.cmath.ellint_2]

double ellint_2(double k, double phi); float ellint_2f(float k, float phi); long double ellint_2l(long double k, long double phi);

Effects: Эти функции вычисляют неполный эллиптический интеграл второго рода своих соответствующих аргументов k и phi (phi измеряется в радианах).

Returns:

$E (k, ϕ) = \int_{0}^{ϕ} \sqrt{1 - k^{2} {sin}^{2} θ} d θ, for | k | \leq 1$

где k есть k и φ есть phi.

29.9.5.13 Incomplete elliptic integral of the third kind [sf.cmath.ellint_3]

double ellint_3(double k, double nu, double phi); float ellint_3f(float k, float nu, float phi); long double ellint_3l(long double k, long double nu, long double phi);

Effects: Эти функции вычислить неполный эллиптический интеграл третьего рода их соответствующих аргументов k, nuи phi (phi измеренный в радианах).

Returns:

$Π (ν, k, ϕ) = \int_{0}^{ϕ} \frac{d θ}{(1 - ν {sin}^{2} θ) \sqrt{1 - k^{2} {sin}^{2} θ}}, for | k | \leq 1$

где ν есть nu, k есть kи φ есть phi.

29.9.5.14 Exponential integral [sf.cmath.expint]

double expint(double x); float expintf(float x); long double expintl(long double x);

Effects: Эти функции вычисляют экспоненциальный интеграл своих соответствующих аргументов x.

Returns:

$E i (x) = - \int_{- x}^{\infty} \frac{e^{- t}}{t} d t$

где x есть x.

29.9.5.15 Hermite polynomials [sf.cmath.hermite]

double hermite(unsigned n, double x); float hermitef(unsigned n, float x); long double hermitel(unsigned n, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют полиномы Эрмита своих аргументов n и x.

Returns:

$H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- x^{2}}$

где n есть n и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if n >= 128.

29.9.5.16 Laguerre polynomials [sf.cmath.laguerre]

double laguerre(unsigned n, double x); float laguerref(unsigned n, float x); long double laguerrel(unsigned n, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют полиномы Лагерра своих аргументов n и x.

Returns:

$L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x}), for x \geq 0$

где n есть n и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if n >= 128.

29.9.5.17 Legendre polynomials [sf.cmath.legendre]

double legendre(unsigned l, double x); float legendref(unsigned l, float x); long double legendrel(unsigned l, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют полиномы Лежандра своих аргументов l и x.

Returns:

$P_{ℓ} (x) = \frac{1}{2^{ℓ} ℓ!} \frac{d^{ℓ}}{d x^{ℓ}} (x^{2} - 1)^{ℓ}, for | x | \leq 1$

где l есть l и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if l >= 128.

29.9.5.18 Riemann zeta function [sf.cmath.riemann_zeta]

double riemann_zeta(double x); float riemann_zetaf(float x); long double riemann_zetal(long double x);

Effects: Эти функции вычисляют дзета-функцию Римана своих соответствующих аргументов x.

Returns:

$ζ (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} \infty \sum k = 1 k^{- x}, & for x > 1 \frac{1}{1 - 2^{1 - x}} \infty \sum k = 1 (- 1)^{k - 1} k^{- x}, & for 0 \leq x \leq 1 2^{x} π^{x - 1} sin (\frac{π x}{2}) Γ (1 - x) ζ (1 - x), & for x < 0 \end{matrix}$

где x есть x.

29.9.5.19 Spherical Bessel functions of the first kind [sf.cmath.sph_bessel]

double sph_bessel(unsigned n, double x); float sph_besself(unsigned n, float x); long double sph_bessell(unsigned n, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют сферические функции Бесселя первого рода их соответствующих аргументов n и x.

Returns:

$j_{n} (x) = (π / 2 x)^{1 / 2} J_{n + 1 / 2} (x), for x \geq 0$

где n есть n и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if n >= 128.

См. Также [sf.cmath.cyl_bessel_j].

29.9.5.20 Spherical associated Legendre functions [sf.cmath.sph_legendre]

double sph_legendre(unsigned l, unsigned m, double theta); float sph_legendref(unsigned l, unsigned m, float theta); long double sph_legendrel(unsigned l, unsigned m, long double theta);

Effects: Эти функции вычислить сферические функции Лежандра связанные с их соответствующих аргументов l, mи theta (theta в радианах).

Returns:

$Y_{ℓ}^{m} (θ, 0)$

куда

$Y_{ℓ}^{m} (θ, ϕ) = (- 1)^{m} {[\frac{(2 ℓ + 1)}{4 π} \frac{(ℓ - m)!}{(ℓ + m)!}]}^{1 / 2} P_{ℓ}^{m} (cos θ) e^{i m ϕ}, for | m | \leq ℓ$

и l есть l, m есть mи θ есть theta.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if l >= 128.

См. Также [sf.cmath.assoc_legendre].

29.9.5.21 Spherical Neumann functions [sf.cmath.sph_neumann]

double sph_neumann(unsigned n, double x); float sph_neumannf(unsigned n, float x); long double sph_neumannl(unsigned n, long double x);

Effects: Эти функции вычисляют сферические функции Неймана, также известные как сферические функции Бесселя второго рода, их соответствующих аргументов n и x.

Returns:

$n_{n} (x) = (π / 2 x)^{1 / 2} N_{n + 1 / 2} (x), for x \geq 0$

где n есть n и x есть x.

Remarks: Эффект от вызова каждой из этих функций определяется реализацией if n >= 128.

См. Также [sf.cmath.cyl_neumann].